Question

【题目】如图，ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为_____．

Answer 1

【答案】2或2或．

【解析】

分两种情况：（1）①当∠BPC＝90°时，作AM⊥BC于M，求出BM＝AB＝1，AM＝BM＝，由勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，得出点P与A重合即可；②当∠BPC＝90°，点P在边AD上，CP＝CD＝AB＝2时，由勾股定理求出BP即可；

（2）当∠BCP＝90°时，CP＝AM＝，由勾股定理求出BP即可．

解：分两种情况：

（1）①当∠BPC＝90°时，

作AM⊥BC于M，如图1所示，

∵∠B＝60°，

∴∠BAM＝30°，

∴BM＝AB＝1，

∴AM＝BM＝，CM＝BC﹣BM＝4﹣1＝3，

∴AC＝＝2，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴当点P与A重合时，∠BPC＝∠BAC＝90°，

∴BP＝BA＝2；

②当∠BPC＝90°，

点P在边AD上，CP＝CD＝AB＝2时，

BP＝＝＝2；

（2）当∠BCP＝90°时，如图3所示：

则CP＝AM＝，

∴BP＝＝；

综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2或．

故答案为：2或2或．