Question

【题目】一次函数y＝﹣2x﹣2分别与x轴、y轴交于点A、B．顶点为（1，4）的抛物线经过点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C为第一象限抛物线上一动点．设点C的横坐标为m，△ABC的面积为S．当m为何值时，S的值最大，并求S的最大值；

（3）在（2）的结论下，若点M在y轴上，△ACM为直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3

（2）当m＝2时，S的值最大，最大值为

（3）（0，﹣1）、（0，5）、或

【解析】

(1)设抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求解.
(2)连接0C，可得点根据一次函数y=-2x-2得出点A、B的坐标,然后利用三角形面积公式得出的表达式,利用二次函数的表达式即可求解.

(3)设M（0，n），已知A、C点坐标可求出直线AC的解析式，分三种情况，当AC⊥MC，求出M点坐标，当AC⊥AM时，求出M点坐标，当AM⊥MC时，求出M点坐标.

（1）一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点A，则A的坐标为（﹣1，0），

∵抛物线的顶点为（1，4），

∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，

∵抛物线经过点A（﹣1，0），

∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，

∴a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）连接OC，点C为第一象限抛物线上一动点，点C的横坐标为m，

∴C（m，﹣m2+2m+3），

一次函数y＝﹣2x﹣2与y轴交于点B，则OB＝2，

∵A的坐标为（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴，

∴当m＝2时，S的值最大，最大值为.

（3）设M（0，n），

∵A（﹣1，0），C（2，3），

∴直线AC的解析式为y＝x+1，

①当AC⊥MC时，＝﹣1，

∴n＝5，

∴M（0，5）；

②当AC⊥AM时，n＝﹣1，

∴M（0，﹣1）；

③当AM⊥MC时，n＝﹣1，

∴n＝

∴M（0，）或M（0，）；

综上所述：点M的坐标为（0，﹣1）、（0，5）、（0，）或（0，）．