Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE．
（1）求∠C的度数．
（2）求证：AH=2BD．

Answer 1

（1）解：∵AE=BE，BE⊥AC，
∴∠BAE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠C=（180°-∠BAE）
=（180°-45°）
=67.5°；

（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，∠1+∠C=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC，
∴AH=2BD．
分析：（1）由等腰直角三角形ABE的性质及三角形的内角和定理求知∠BAE=45°；又由等腰直角三角形ABC和三角形的内角和求得∠C=（180°-∠BAE）；
（2）由等腰三角形的底边上的垂线与中线重合的性质求得BC=2BD，根据直角三角形的两个锐角互余的特性求知∠1+∠C=90°；又由已知条件AE⊥AC知∠2+∠C=90°，所以根据等量代换求得∠1=∠2；然后由三角形全等的判定定理SAS证明△AEH≌△BEC，再根据全等三角形的对应边相等及等量代换求得AH=2BD．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解本题的关键是掌握等腰三角形底边的高线，中线，角平分线三线合一的性质．