Question

如图，半径为1.2的⊙A，圆心在直线y=

3

4

x-3上运动，OP是⊙A的切线，P为切点，则切线长OP的最小值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：连接AP，在Rt△AOP中，AO=1.2，则当OA最小时OP有最小值，所以当OA与直线垂直时OP最小，设直线与x轴、y轴的交点分别为B、C，利用等积法可求得O到直线的距离，再结合勾股定理可求得OP的值．

解答：解：如图，连接AP，则AP⊥OP，设直线y=

3

4

x-3与x轴、y轴分别交与点B、C，
在Rt△OAP中，AP=1.2，由勾股定理可得OP=

OA2-PA2

=

OA2-1.44

，
∴当OA最小时，OP最小，
∴当OA⊥BC时，OP最小，
在y=

3

4

x-3中，令y=0解得x=4，令x=0解得y=-3，
∴OB=4，OC=3，由勾股定理可知BC=5
在Rt△OBC中，由面积相等可知OA•BC=OB•OC，
即5OA=12，解得OA=2.4，
此时OP=

2．42-1．22

=

6 3

5

，
综上可知，OP的最小值为

6 3

5

．
故答案为：

6 3

5

．

点评：本题主要考查切线的性质及勾股定理，根据条件求出OP最小时P点的位置是解题的关键．