Question

如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁，记四边形A₁ABB₁的面积为S₁；再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，记四边形A₂A₁B₁B₂的面积为S₂；再分别取A₂C、B₂C的中点A₃、B₃，依次取下去…
（1）由已知，可求得S₁=

 

，S₂=

 

，S₁₀₀=

 

；
（2）利用这一图形，计算

3

4100

+

3

4101

+

3

4102

+…+

3

4200

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：规律型

分析：（1）首先计算出第一个和第二个、第三个三角形的面积找到规律即可求出问题的答案；
（2）根据（1）中的规律计算即可．

解答：解：（1）∵A₁、B₁分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A₁B₁C的面积为1×

1

4

=

1

4

．
∴四边形A₁ABB₁的面积=△ABC的面积-△A₁B₁C的面积=

3

4

=1-

1

4

；
∴四边形A₂A₁B₁B₂的面积=△A₁B₁C的面积-△A₂B₂C的面积=

1

4

-

1

42

=

3

42

．
…，
∴第n个四边形的面积=

3

4n

，
∴S₁₀₀=

3

4100

．
故答案为：

3

4

，

3

42

，

3

4100

；
（2）由（1）可知：

3

4100

+

3

4101

+

3

4102

+…+

3

4200

=（

1

499

-

1

4100

+

1

4100

-

1

4101

…-

1

4200

）=

1

499

-

1

4200

．

点评：本题考查了三角形的中位线性质定理和相似三角形的性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．