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    16．如图①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，点P从点B出发，沿B-A-D-A运动．已知沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．若P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．
    （1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．
    （2）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，是否存在线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分的情况？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
    （3）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，在点P沿B-A-D运动过程中，当C′D′∥BC时，求t的值（直接写出结果）

    分析 （1）分情况讨论，当点P沿A-D运动时，当点P沿D-A运动时分别可以表示出AP的值；
    （2）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜$\frac{8}{3}$时，当$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{29}{4}$时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；
    （3）分情况讨论当P在A-D之间或D-A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D-A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．

    解答 解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8，
    当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）=108-8t；

    （2）当点P与点R重合时，
    AP=BQ，8t-8=5t，t=$\frac{8}{3}$．
    当0＜t≤1时，如图③．
    ∵S△BPM=S△BQM，
    ∴PM=QM．
    ∵AB∥QR，
    ∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
    在△BPM和△RQM中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠PBM=QRM}\\{∠BPM=∠MQR}\\{PM=QM}\end{array}\right.$，
    ∴△BPM≌△RQM（AAS）．
    ∴BP=RQ，
    ∵RQ=AB，
    ∴BP=AB
    ∴13t=13，
    解得：t=1
    当1＜t≤$\frac{8}{3}$时，如图④．
    ∵BR平分阴影部分面积，
    ∴P与点R重合．
    ∴t=$\frac{8}{3}$．
    当$\frac{8}{3}$＜t≤$\frac{29}{4}$时，如图⑤．
    ∵S△ABR=S△QBR，
    ∴S△ABR＜S四边形BQPR．
    ∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．
    综上所述，当t=1或$\frac{8}{3}$时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．

    （3）如图⑥，点P沿B-A-D运动过程中，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，
    ∴∠C′OQ=∠OQC．
    ∵△C′OQ≌△COQ，
    ∴∠C′OQ=∠COQ，
    ∴∠CQO=∠COQ，
    ∴QC=OC，
    ∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，
    解得：t=7或t=$\frac{95}{13}$（不合题意，舍去）．
    点P沿B-A-D运动过程中，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．
    同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，
    ∴50-5t+13=8（t-1）-50，
    解得：t=$\frac{121}{13}$（不合题意，舍去）．
    ∴当t=7时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．

    点评 本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论的数学思想的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用动点问题的解答方法确定分界点是解答本题的关键和难点．

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    A．B．C．D．

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    11．关于x的一元二次方程x2-x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞$\frac{1}{4}$．

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    4．问题1：在图1中，已知线段AB，CD，它们的中点分别为E，F．
    ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为（1，0）；
    ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为（-2，$\frac{1}{2}$）；
    问题2：在图2中，无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，请直接写出点D的坐标为（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$ ）（用含a，b，c，d的式子表示）
    问题3：在图3中，一次函数y=x-2与反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象交点为A，B，若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出顶点P的坐标（2，-2），（4，4），（4，-4）．

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    11．操作与证明：
    把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，易知：AF=CE，AF⊥CE．（如图1）（不要证明）
    （1）将图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜45），连接AF，CE，（如图2），试证明：AF=CE，AF⊥CE．
    猜想与发现：
    （2）将图2中的直角三角板BEF绕点B顺时针继续旋转，使BF落在BC边上，连接AF，CE，（如图3），点M，N分别为AF，CE的中点，连接MB，BN．
    ①MB，BN的数量关系是相等；
    ②MB，BN的位置关系是垂直．
    变式与探究：
    （3）图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转180°，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN，（如图4），MA，MN的数量关系、位置关系又如何？为什么？

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．（1）问题发现
    如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．
    填空：
    ①∠AEC的度数为120°；
    ②线段AE、BD之间的数量关系为AE=BD．
    （2）拓展探究
    如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．
    （3）解决问题
    如图3，在正方形ABCD中，CD=2，点P在以AC为直径的半圆上，AP=1，①∠DPC=45°°； ②请直接写出点D到PC的距离为$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    8．如图，A，B为反比例函数位于第一象限内图象上的点，过点A作x轴的垂线与过点B作y轴垂线交于点P，如果△ABP为等腰直角三角形且A点坐标为（5，1），则△ABP的面积为8．

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    5．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过$\widehat{BD}$上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
    （1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；
    （2）若⊙O半径为2，CT=$\sqrt{3}$，求AD的长．

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    6．如图1，矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6，点P、Q分别是线段AD和线段BC上的动点，满足∠PQB=60°．
    （1）填空：①∠ACB=30度；②PQ=4．
    （2）设线段BC的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，若△CMN为直角三角形，请直接写出满足条件的AP的长度．
    （3）设AP=x，△PBQ与△ABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和自变量x的取值范围．

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