如图1.矩形ABCD中.AB=2$\sqrt{3}$.BC=6.点P.Q分别是线段AD和线段BC上的动点.满足∠PQB=60°．(1)填空:①∠ACB=30度,②PQ=4．(2)设线段BC的中点为N.PQ与线段AC相交于点M.若△CMN为直角三角形.请直接写出满足条件的AP的长度．(3)设AP=x.△PBQ与△ABC的重叠部分的面积为S.试求S与x的函数关系式和自变量x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图1，矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6，点P、Q分别是线段AD和线段BC上的动点，满足∠PQB=60°．
（1）填空：①∠ACB=30度；②PQ=4．
（2）设线段BC的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，若△CMN为直角三角形，请直接写出满足条件的AP的长度．
（3）设AP=x，△PBQ与△ABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和自变量x的取值范围．

分析（1）①由矩形的性质得出∠ABC=90°，根据三角函数的定义得出tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得出结果； ②作PG⊥BC于G，由三角函数求出PQ即可；
（2）设AP=x；分两种情况：①当∠NMC=90°时，先求出CN=$\frac{1}{2}$BC=3，根据题意得出∠PAM=∠PMA=∠QMC=∠QCM=30°，∠MNQ=∠MQN=60°，得出PM=AP=x，MQ=4-x，MN=$\frac{3}{2}$，MN=MQ，得出4-x=$\frac{3}{2}$，解方程即可；②当∠MNC=90°时，延长NM交AD于H；在Rt△PMH中，PM=2，HM=$\sqrt{3}$，则PH=1，得出AP=AH-PH=2；
（3）连结PC，先证明△APE∽△CBE，得出比例式，求出△BEC的面积，再求出△PQC的面积和△CMQ的面积，S_{四边形BQME}=S_△BEC-S_△CMQ，即可得出结果；当P与A重合时，x=0；当Q与C重合时，x=4；即可得出x的取值范围．

解答解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠D=90°，AD=BC=6，AD∥BC，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°，
故答案为：30；
②作PG⊥BC于G，如图1所示：
则∠PGC=90°，PG=AB=2$\sqrt{3}$，
∴PQ=$\frac{PG}{sin∠PQB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
故答案为：4；
（2）设AP=x；分两种情况：
①当∠NMC=90°时，如图1所示：
∵N是BC的中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=3，
根据题意得：∠PAM=∠PMA=∠QMC=∠QCM=30°，∠MNQ=∠MQN=60°，
∴PM=AP=x，MQ=4-x，MN=$\frac{3}{2}$，MN=MQ，MN=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{3}{2}$，
∴4-x=$\frac{3}{2}$，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴PA=$\frac{5}{2}$；
②当∠MNC=90°时，
延长NM交AD于H；如图2所示：
在Rt△PMH中，PM=2，HM=$\sqrt{3}$，则PH=1，
∴AP=AH-PH=2；
综上所述：△CMN为直角三角形，AP的长度为：$\frac{5}{2}$或2；
（3）设PB交AC于E；连结PC，如图3所示：
∵AD∥BC，
∴△APE∽△CBE，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AP}=\frac{6}{x}$，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{6}{x+6}$，
∴S_△BEC=$\frac{6}{x+6}$•S_△ABC=$\frac{6}{x+6}$×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=$\frac{36\sqrt{3}}{x+6}$，
∵PM=PA=x，
∴CQ=QM=4-x，
∴S_△PQC=$\frac{1}{2}（4-x）•2\sqrt{3}=\sqrt{3}（4-x）$，
∴S_△CMQ=$\frac{QM}{PQ}$•S_△PQC=$\frac{4-x}{4}$•S_△PQC=$\frac{4-x}{4}$•$\sqrt{3}$（4-x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-x）²，
∴S_{四边形BQME}=S_△BEC-S_△CMQ=$\frac{{36\sqrt{3}}}{x+6}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（4-x）^2}$，
当P与A重合时，x=0；
当Q与C重合时，PD=2，
∴AP=4，即x=4，
∴自变量x的取值范围是：0≤x≤4；
∴S=$\frac{{36\sqrt{3}}}{x+6}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（4-x）^2}$（0≤x≤4）．

点评本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角函数、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线，进行分类讨论或证明三角形相似才能得出结果．

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