如图.矩形OABC的两边OA.OC分别在x.y轴的正半轴上.点B的坐标为(3.2).反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B．(1)求反比例的解析式,(2)D是边BC上一点.过点D作DE⊥BC交反比例的图象于点E.以BD.DE为相邻两边作矩形DEFB．若BD＜DE.且矩形OABC与矩形DEFB相似．①连结BE.BO.则∠0BE=90°,②求矩形DEFB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，2），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例的解析式；
（2）D是边BC上一点，过点D作DE⊥BC交反比例的图象于点E，以BD、DE为相邻两边作矩形DEFB．若BD＜DE，且矩形OABC与矩形DEFB相似．
①连结BE、BO，则∠0BE=90°；
②求矩形DEFB的面积．

分析（1）把点B（3，2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，求出k的值即可；
（2）①由矩形OABC与矩形DEFB相似，得出△DBE∽△COB，得出对应角相等∠DBE=∠COB，得出∠DBE+∠CBO=90°即可；
②由矩形OABC与矩形DEFB相似，得出DE：DB=OA：AB=3：2，设DB=2k，则DE=3k，得出点E的坐标，代入反比例函数解析式，解方程求出k的值，得出BD、DE的长，即可求出矩形DEFB的面积．

解答解：（1）把点B（3，2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$得：k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$；
（2）①∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，
∴∠COB+∠CBO=90°，
∵矩形OABC与矩形DEFB相似，BD＜DE，
∴△DBE∽△COB，
∴∠DBE=∠COB，
∴∠DBE+∠CBO=90°，
即∠OBE=90°；
②∵矩形OABC与矩形DEFB相似，
∴DE：DB=OA：AB=3：2，
设DB=2k，则DE=3k，CD=3-2k，AF=AB+DE=2+3k，
∴点E的坐标为：（3-2k，2+3k），
把点E（3-2k，2+3k）代入y=$\frac{6}{x}$得：
（3-2k）（2+3k）=6，
解得：k=$\frac{5}{6}$，
∴BD=2k=$\frac{5}{3}$，DE=3k=$\frac{5}{2}$，
∴矩形DEFB的面积=BD•DE=$\frac{5}{3}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{6}$．

点评本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形特征、相似多边形、相似三角形的性质、矩形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质，确定反比例函数解析式是解决问题的关键．

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