Question

8．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线于点P，且DE=DP．
（1）求证：AE=CP；
（2）求证：BE∥DF．

Answer 1

分析 （1）先证∠AED=∠CPD，再证明△ADE≌△CDP，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEP，得出∠BEC=∠DPE，即可证出平行线．

解答 证明：（1）∵DE=DP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴∠AED=∠CPD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CPD}\\{∠DAC=∠DCA}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDP（AAS），
∴AE=CP；
（2）在△BCE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEP，
∴∠BEC=∠DPE，
∴BE∥DF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．