Question

5．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过$\widehat{BD}$上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；
（2）若⊙O半径为2，CT=$\sqrt{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OT，根据同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO，进而得出∠DAB=2CAT，解答即可；
（2）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，得出矩形OECT，求出OT=CE，根据垂径定理求出DE，根据矩形性质求出OT=CT，根据勾股定理求出即可．

解答 解：（1）连接OT，如图1：
∵TC⊥AD，⊙O的切线TC，
∴∠ACT=∠OTC=90°，
∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO，
∴∠CAT=∠ATO，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠ATO，
∴∠DAB=2∠CAT=50°，
∴∠CAT=25°，
∴∠ATC=90°-25°=65°；
（2）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：
∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，
∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°，
∴四边形OECT是矩形，
∴OT=CE=OD=2，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵CT=OE=$\sqrt{3}$，
在Rt△OED中，由勾股定理得：ED=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
∴AD=2．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，具有一定的代表性．