Question

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n的代数式表示），并写出其最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）和（3），

【解析】解：（1）正比例函数解析式为 ---------------1分

反比例函数解析式为  ---------------2分  

（2）当点Q在直线DO上运动时，

设点Q的坐标为， ----------------------3分

于是=

而×1×2=1

所以有，，解得  --------------------6分

所以点Q的坐标为和 -------------------7分

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以点Q的坐标为，

由勾股定理可得，-------------------8分

由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长是

．····················· 10分

平行四边形OPCQ周长的最小值是．-------11分

备注：

而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

所以当即时，有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2．

（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；

（2）求得三角形OBQ和三角形OAP的面积进行解答

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，由勾股定理可得OQ,OP的长，而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，所以当即时，有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2．