Question

14．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是什么？

Answer 1

分析 过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE=BC=a，DE=AC=4a，得到EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC=5a，所以有x=5a，即a=$\frac{1}{5}$x；根据四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可得到y=$\frac{1}{2}$×a×4a+$\frac{1}{2}$×4a×4a=10a²=$\frac{2}{5}$x²．

解答 解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC=a，则AC=4a，
∵∠BAD=90°，∠AED=90°，
∴∠1=∠3，
而∠ACB=90°，AB=AD，
∴△ABC≌△DAE，
∴AE=BC=a，DE=AC=4a，
∴EC=AC-AE=4a-a=3a，
在Rt△DEC中，DC=5a，
∴x=5a，即a=$\frac{1}{5}$x，
又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
∴y=$\frac{1}{2}$×a×4a+$\frac{1}{2}$×4a×4a=10a²=$\frac{2}{5}$x²，即y与x之间的函数关系式是y=$\frac{2}{5}$x²．

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式．