Question

3．二次函数y=4x²-2mx+n的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），与y轴交于C点．
（1）若AB=2，且抛物线顶点在直线y=-x-2上，试确定m，n的值．
（2）在（1）中，若点P为直线BC下方抛物线上一点，当△PBC的面积最大时，求P点坐标．
（3）是否存在整数m，n，使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立？请说明你的结论．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线顶点在直线y=-x-2上，所以可以假设顶点为（h，-h-2），因为a=4，所以抛物线的解析式为y=4（x-h）²-h-2，由AB=2，可得A（h-1，0），B（h+1，0），把B（h+1，0）代入y=4（x-h）²-h-2得，h=2，求出抛物线的解析式即可解决问题．
（2）设P（m，4m²-16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根据S_△PBC=S_△PHC+S_△PHB构建二次函数，理由二次函数的性质解决问题．
（3）不存在．假设存在，由题意由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{4-2m+n＞0}\\{16-4m+n＞0}\\{4{m}^{2}-16n＞0}\end{array}\right.$且1＜-$\frac{-2m}{8}$＜2，首先求出整数m的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线顶点在直线y=-x-2上，
∴可以假设顶点为（h，-h-2），
∵a=4，
∴抛物线的解析式为y=4（x-h）²-h-2，
∵AB=2，
∴A（h-1，0），B（h+1，0），
把B（h+1，0）代入y=4（x-h）²-h-2得，h=2，
∴抛物线的解析式为y=4（x-2）²-4，
∴y=4x²-16x+12，
∴m=8，n=12．

（2）如图，设P（m，4m²-16m+12）．作PH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y=-4x+12，
∴H（m，-4m+12），
∴S_△PBC=S_△PHC+S_△PHB=$\frac{1}{2}$•（-4m+12-4m²+16m-12）•3=-6（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{2}$，
∵-6＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△PBC面积最大，
此时P（$\frac{3}{2}$，-3）．

（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{4-2m+n＞0}\\{16-4m+n＞0}\\{4{m}^{2}-16n＞0}\end{array}\right.$且1＜-$\frac{-2m}{8}$＜2，
∴4＜m＜8，
∵m是整数，
∴m=5 或6或7，
当m=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当m=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当m=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数m、n，使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．