Question

12．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是△ABC内一点，PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度数．

Answer 1

分析 由于∠ABC=90°，BC=AB，则可以把△PAC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，根据旋转的性质得到AD=AP=2，BD=PC=3，∠PBD=90°，得到△APD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PD=$\sqrt{2}$PA=2$\sqrt{2}$，∠DPB=45°，根据勾股定理的逆定理证明△BPD为直角三角形，然后利用∠APB=∠APD+∠DPB计算即可．

解答 解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PAC绕A点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，
∴BD=PC=3，AD=AP=2，∠PAD=90°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴DP=$\sqrt{2}$PA=2$\sqrt{2}$，∠DPA=45°，
在△BPD中，PB=2，PD=2$\sqrt{2}$，DB=3，
∵1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，
∴AP²+PD²=BD²，
∴△BPD为直角三角形，
∴∠BPD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．