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【题目】已知:l1l2l3l4,平行线l1l2l2l3l3l4之间的距离分别为d1d2d3,且d1=d3=1,d2=2.我们把四个顶点分别在l1l2l3l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.

(1)如图1,正方形ABCD为“格线四边形”,则正方形ABCD的边长为  

(2)矩形ABCD为“格线四边形”,其长:宽=2:1,求矩形ABCD的宽.(可用备用图)

(3)如图1,EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E,分别交l2l4于点FG.将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AED′(如图2),点D′在直线l3上,以AD′为边在ED′左侧作菱形ABCD′,使B′,C′分别在直线l2l4上,求菱形ABCD′的边长.

【答案】1

2

3

【解析】试题分析: (1)利用已知得出△AED≌△DGCAAS),即可得出AE,以及正方形的边长;

2)如图2过点BBE⊥L1于点E,反向延长BEL4于点F,则BE=1BF=3,由四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°∠ABE+∠FBC=90°,根据∠ABE+∠EAB=90°,得到∠FBC=∠EAB,然后分类讨论,求得矩形的宽.

3)首先过点E′ON垂直于l1分别交l1l2于点ON∠AEO=30°,则∠ED′N=60°,可求出AE=1EOENED′的长,进而由勾股定理可知菱形的边长.

解:(1∵l1∥l2∥l3∥l4∠AED=90°

∴∠DGC=90°

四边形ABCD为正方形

∴∠ADC=90°AD=CD∵∠ADE+∠2=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠1=∠ADE

∵l3∥l4

∴∠1=∠DCG

∠ADE=∠DCG

△AED△DGC中,

∴△AED≌△GDCAAS),

∴AE=GD=1ED=GC=3

AD=

故答案为:

2)如图2过点BBE⊥L1于点E,反向延长BEL4于点F

BE=1BF=3

四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°

∴∠ABE+∠FBC=90°

∵∠ABE+∠EAB=90°

∴∠FBC=∠EAB

ABBC时,AB=BC

AE=BF=

AB=

如图3ABBC时,

同理可得:BC=

矩形的宽为:

3)如图4过点E′ON垂直于l1分别交l1l4于点ON

∵∠OAE′=30°,则∠E′FN=60°

∵AE′=AE=1

E′O=E′N=E′D′=

由勾股定理可知菱形的边长为:

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学习了三角形全等的判定方法(即“SSS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC△DEF中,AC=DFBC=EF∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF

如图,在△ABC△DEFAC=DFBC=EF∠B=∠E=90°,根据   ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF

第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF

如图,在△ABC△DEFAC=DFBC=EF∠B=∠E,且∠B∠E都是钝角,请你证明:△ABC≌△DEF(提示:过点CCG⊥ABAB的延长线于G,过点FFH⊥DEDE的延长线于H).

第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC△DEF不一定全等.

△ABC△DEFAC=DFBC=EF∠B=∠E,且∠B∠E都是锐角,请你利用图,在图中用尺规作出△DEF,使△DEF△ABC不全等.

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