【题目】【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角,请你证明:△ABC≌△DEF(提示:过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H).
第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你利用图③,在图③中用尺规作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.
【答案】(1)HL;(2)详见解析;(3)△DEF和△ABC不全等,图见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题意可知,此时得到:Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“HL”;
(2)如图,分别过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,然后先用“AAS”证△CBG≌△FEH,接着用“HL”证Rt△ACG≌Rt△DFH,最后用“AAS”证△ABC≌△DEF即可;
(3)在图3中以点C为圆心,CA为半径作弧交AB于点D,设点E和点B重合,点F和点C重合,则图中的△ABC和△DEF满足题目中的条件,但很明显,此时两个三角形并不全等.
试题解析:
(1)∵在△ABC和△DEF中:AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
即此时判定两三角形全等的依据是:HL;
(2)如图,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,
∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF都是钝角,
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF,
即∠CBG=∠FEH,
在△CBG和△FEH中, ,
∴△CBG≌△FEH(AAS),
∴CG=FH,
在Rt△ACG和Rt△DFH中, ,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中, ,
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)如图,△DEF和△ABC中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,满足了题目中的条件,但很明显,它们不全等.
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【题目】已知:l1∥l2∥l3∥l4,平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3,且d1=d3=1,d2=2.我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.
(1)如图1,正方形ABCD为“格线四边形”,则正方形ABCD的边长为 .
(2)矩形ABCD为“格线四边形”,其长:宽=2:1,求矩形ABCD的宽.(可用备用图)
(3)如图1,EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E,分别交l2,l4于点F,G.将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′(如图2),点D′在直线l3上,以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′,使B′,C′分别在直线l2,l4上,求菱形AB′C′D′的边长.
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【题目】如图,在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA、OB长度不限)中,要砌20m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96m2.
(1)求地面矩形AOBC的长;
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少?
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【题目】将一副直角三角板如图摆放,等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同,且斜边BC与BE在同一直线上,AC与BD交于点O,连接CD.
求证:△CDO是等腰三角形.
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【题目】等边三角形ABC和等腰三角形ABD按如图所示的位置摆放,∠DAB=90°,AC与BD相交于点E,F为AD上一点,连接EF,CF,CF与BD交于点P,过点D作DG⊥AC于点G,过点B作BH⊥AC于点H. 已知∠ECF=45°.
(1)求证:△CDE≌△DCF;
(2)试判断CD与EF之间的位置关系,并说明理由;
(3)求的值.
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【题目】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为(﹣4,5)、(﹣1,3).
(1)请在图中正确作出平面直角坐标系;
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
(3)点B′的坐标为 ,△A′B′C′的面积为 .
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