Question

3．反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象进过点（1，3），P点是直线y₂=-x+6上一个动点，如图所示，设P点的横坐标为m，且满足-m+6$＞\frac{3}{m}$，过P点分别作PB⊥x轴、PA⊥y轴，垂足分别为B、A，与双曲线分别交于D、C两点，连接OC、OD、CD．
（1）求k的值并结合图象求出m的取值范围；
（2）在P点运动过程中，求线段OC最短时P点的坐标；
（3）将三角形OCD沿着CD翻折，点O的对应点为O′，得到四边形O′COD，问：四边形O′COD能否为菱形？若能，求出P点坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先把（1，3）代入y₁=$\frac{k}{x}$求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；
（2）根据线段OC最短可知OC为∠AOB的平分线，对于y₁=$\frac{3}{x}$，令x=y₁，即可得出C点坐标，把y=$\sqrt{3}$代入y=-x+6中求出x的值即可得出P点坐标；
（3）当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，由此时P横纵坐标相等且在直线y=-x+6上即可得出结论．

解答 解：（1）∴反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象进过点（1，3），
∴把（1，3）代入y₁=$\frac{k}{x}$，解得k=3，
∵$\frac{3}{m}$=-m+6，
∴m=3±$\sqrt{6}$，
∴由图象得：3-$\sqrt{6}$＜m＜3+$\sqrt{6}$；

（2）∵线段OC最短时，
∴OC为∠AOB的平分线，
∵对于y₁=$\frac{3}{x}$，令x=y₁，
∴x=$\sqrt{3}$，即C（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴把y=$\sqrt{3}$代入y=-x+6中，得：x=6-$\sqrt{3}$，即P（6-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；

（3）四边形O′COD能为菱形，
∵当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，
∴由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，
∴此时P横纵坐标相等且在直线y=-x+6上，即x=-x+6，解得：x=3，即P（3，3）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．