Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若CD=6，求GF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°-∠D-∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D=30°．
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°-∠D-∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，
∴EO=

1

2

CO，CO²=EO²+CE²．
设EO=x，则CO=2x．
∴（2x）²=x²+3²．
解得x=

3

（舍负值）．
∴CO=2

3

．      
∴FO=2

3

．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴GO=2CO=4

3

．
∴GF=GO-FO=2

3

．

点评：此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．