Question

已知直线y=2x与抛物线y=

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x²+mx+n（m≠0）相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点（其中x₁＜x₂），抛物线与y轴交于点C，AC平行于x轴，且A、B两点关于坐标原点O成中心对称．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）平移直线y=2x，使平移后的直线以过点（a，0）（其中a＞0），试判断平移后的直线与（1）中的抛物线交点个数．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）先根据y轴上点的坐标特征得C点坐标为（0，n），再根据AC平行于x轴得到A点的纵坐标为n，则可利用点A在直线y=2x上得到A点坐标为（

n

2

，n），
然后利用A点与B点关于坐标原点O成中心对称，则B点坐标为（-

n

2

，-n），再把A、B点的坐标代入y=

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x²+mx+n得到m、n的方程组，解方程组求出m、n即可；
（2）先求出平移后的直线解析式为y=2x-2a，当若一次函数与二次函数的函数值相等时，得到

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x²+2x-16=2x-2a，整理得x²=8a+64，然后根据x的值的个数确定平移后的直线与（1）中的抛物线交点个数．

解答：解：（1）∵当x=0时，y=

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x²+mx+n=n，
∴C点坐标为（0，n），
∵AC平行于x轴，
∴A点的纵坐标为n，
把y=n代入y=2x得x=

n

2

，则A点坐标为（

n

2

，n），
∵点关于坐标原点O成中心对称，
∴B点坐标为（-

n

2

，-n），
把A（

n

2

，n），B（-

n

2

，-n）分别代入y=

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x²+mx+n得

n2 16 + 1 2 mn+n=n n2 16 - 1 2 mn+n=-n

，解得

m=2 n=-16

，
∴抛物线的解析式为y=

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x²+2x-16；
（2）直线y=2x平移后的解析式为y=2x+k，
把（a，0）代入得2a+k=0，解得k=-2a，
所以平移后的直线解析式为y=2x-2a，

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x²+2x-16=2x-2a，整理得x²=8a+64，
当-8a+64=0时，平移后的直线与（1）中的抛物线有1个交点，即a=8；
当-8a+64＞0时，平移后的直线与（1）中的抛物线有2个交点，即a＜8；
当-8a+64＜0时，平移后的直线与（1）中的抛物线没有公共点，即a＞8．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．