Question

【题目】如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且CD2=BC·CE，AD=6，AE=4．

（1）求证：△BCD∽△DCE；

（2）求证：△ADE∽△ACD；

（3）求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5

【解析】试题分析：（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；

（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；

（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．

试题解析：（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，

∴∠BCD=∠DCE．

∵CD2=BCCE，

∴，

∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；

（2）证明：∵△BCD∽△DCE，

∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的对应角相等）．

∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∠ADC=∠ADE+∠EDC，

∴∠ADE=∠ACD．

∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；

（3）解：∵△ADE∽△ACD，

∴，

∴，

∴AC=9，

∴CE=AC-AE=9-4=5．