Question

【题目】如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN.

(1)探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明。

(2)若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）MN=BM+NC.理由见解析；（2）MN=NCBM，图见解析，理由见解析；

【解析】

（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段，MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．

（2）按要求作出图形，先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．

(1)MN=BM+NC.理由如下：

延长AC至E,使得CE=BM(或延长AB至E,使得BE=CN)，并连接DE.

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，

∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°，

又BD=DC,且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，

∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD与△ECD中，

∵ ，

∴△MBD≌△ECD(SAS)，

∴MD=DE，

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=BM+NC.

(2)按要求作出图形,(1)中结论不成立，应为MN=NCBM.

在CA上截取CE=BM.

∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD,∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠CBD=30°,

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵ ，

∴△BMD≌△CED(SAS)，

∴DE=DM，

在△MDN和△EDN中

∵，

∴△MDN≌△EDN(SAS)，

∴MN=NE=NCCE=NCBM.