【题目】在ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
【答案】(1)见解析;(2)45°;(3)见解析.
【解析】
(1)根据AF平分∠BAD,可得∠BAF=∠DAF,利用四边形ABCD是平行四边形,求证∠CEF=∠F即可;(2)根据∠ABC=90°,G是EF的中点可直接求得;(3)分别连接GB、GC,求证四边形CEGF是平行四边形,再求证△ECG是等边三角形,由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB,求证△BEG≌△DCG,然后即可求得答案.
(1)证明:如图1,
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.
(2)解:连接GC、BG,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形,
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF=45°,
∵∠DCB=90°,DF∥AB,
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形,
∵G为EF中点,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∵△ABE为等腰直角三角形,AB=DC,
∴BE=DC,
∵∠CEF=∠GCF=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中,
∵,
∴△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,
∴∠BGA+∠DGA=90°,
∴△DGB为等腰直角三角形,
∴∠BDG=45°.
(3)解:延长AB、FG交于H,连接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF,
∴CE=CF,
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中,
∵ ,
∴△BHD≌△GFD,
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
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【题目】在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球,其上面分别标注
数字1、2、3、,现从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的横坐标;将球放回
袋中搅匀,再从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的纵坐标.
(1)写出点M坐标的所有可能的结果;
(2)求点M在直线y=x上的概率;
(3)求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
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【题目】为了解某校九年级男生的体能情况,体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试,并对成绩进行了统计,绘制成尚不完整的扇形图和条形图,根据图形信息回答下列问题:
(1)本次抽测的男生有________人,抽测成绩的众数是_________;
(2)请将条形图补充完整;
(3)若规定引体向上6次以上(含6次)为体能达标,则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标?
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【题目】已知:如图,菱形ABCD中,对角线相交于点O,且点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为,且与分别交于点;当直线EF停止运动时,点P也停止运动连接PF,设运动时间为设四边形APFE的面积为,则下列图象中,能表示y与t的函数关系的图象大致是
A. B. C. D.
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【题目】如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点到点E,使,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接.
求证:;
正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角得到正方形,如图2.
在旋转过程中,当是直角时,求的度数;
若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求长的最大值和此时的度数,直接写出结果不必说明理由.
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【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P、Q分别是AB、AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形;
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
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【题目】下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:直线l和l外一点P.(如图1)
求作:直线l的垂线,使它经过点P.
作法:如图2
(1)在直线l上任取两点A,B;
(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所求的垂线.
请回答:该作图的依据是_________________________________________.
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【题目】一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,
(1)求点C到直线AB的距离;
(2)求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)
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