Question

15．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别是（0，2），0，-3），点P是x轴正半轴上一个动点，过点B作直线BC⊥AP于点D，直线BC与x轴交于点C．
（1）当OP=2时，求点C的坐标及直线BC的解析式；
（2）若△OPD为等腰三角形，则OP的值为$\frac{3}{2}$或4．

Answer 1

分析 （1）易证△BOC是等腰直角三角形，从而可求出点C的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（2）由于等腰三角形OPD的顶角不确定，故需分情况讨论，然后运用全等三角形的性质、相似三角形的性质及勾股定理就可解决问题．

解答 解：（1）∵A，B两点的坐标分别是（0，2），0，-3），
∴OA=2，OB=3．
∵OP=2，∴OA=OP．
∵∠AOP=90°，∴∠APO=45°，
∴∠CPD=∠APO=45°．
∵BC⊥AP，
∴∠PCD=45°．
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OC=OB=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3；

（2）①当点P在点C左边时，如图1，
此时∠OPD＞90°．
∵△OPD为等腰三角形，∴OP=DP．
在△AOP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠CDP=90°}\\{OP=DP}\\{∠APO=∠CPD}\end{array}\right.$
∴△AOP≌△CDP，
∴AP=CP，
∴OC=AD．
在△ADB和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBO}\\{∠ADB=∠COB=90°}\\{AD=CO}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△COB，
∴CB=AB=5，
∴AD=OC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
设OP=x，则有AP=CP=4-x，
在Rt△AOP中，
2²+x²=（4-x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴OP=$\frac{3}{2}$．
②当点P在点C右边时，如图2，
此时∠ODP＞90°．
∵△OPD为等腰三角形，
∴OD=DP，
∴∠DOP=∠DPO．
∵∠AOP=90°，
∴∠OAP+∠APO=90°，∠AOD+∠DOP=90°，
∴∠OAP=∠AOD，
∴AD=OD，
∴AD=DP．
设AD=x，则有AP=2x．
∵∠DAB=∠OAP，∠ADB=∠AOP=90°，
∴△ADB∽△AOP，
∴$\frac{AD}{AO}$=$\frac{AB}{AP}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{5}{2x}$，
解得x=$\sqrt{5}$（舍去）．
∴AP=2$\sqrt{5}$，
∴OP=$\sqrt{A{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{20-4}$=4．
综上所述：OP的值为$\frac{3}{2}$或4．
故答案为$\frac{3}{2}$或4．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．