Question

3．（1）分析探究：已知x²≥0，请探究：
①如果x=a-b，那么利用完全平方公式，你可以得到什么结论？
②如果x=$\sqrt{a}-\sqrt{b}$（a≥0，b≥0），那么你可以得到什么结论？
（2）实践应用：
①要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用（1）中探究得出的结论，求出镜框周长的最小值；
②已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1）．求$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）①根据x²＞0，x=a-b，从而可以得到（a-b）²≥0，展开整理即可得到所要的结论；
②根据x=$\sqrt{a}-\sqrt{b}$（a≥0，b≥0），x²≥0，可以得到$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}≥0$，展开整理即可得到所要的结论；
（2）①根据题意可以分别设出长方形的长和宽，然后根据（1）中的结论，即可得到镜框周长的最小值；
②根据函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），可以对$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$进行化简，然后利用前面的结论即可得到$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，以及此时取得该最小值时相应的x的值．

解答 解：（1）①∵x²＞0，x=a-b，
∴（a-b）²≥0，
∴a²-2ab+b²≥0，
得a²+b²≥2ab；
②∵x=$\sqrt{a}-\sqrt{b}$（a≥0，b≥0），x²≥0，
∴$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}≥0$，
∴$a-2\sqrt{ab}+b≥0$，
得$a+b≥2\sqrt{ab}$；
（2）①设长方形镜框的长为a米，宽为b米，则ab=1，
∵$a+b≥2\sqrt{ab}$，
∴a+b≥2，
∴2（a+b）≥4，
即镜框周长的最小值是4米；
②∵y₁=x+1（x＞-1），y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}=（x+1）+\frac{4}{x+1}$$≥2\sqrt{（x+1）×\frac{4}{x+1}}=4$，
∴当$x+1=\frac{4}{x+1}$时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$取得最小值4，
∴（x+1）²=4，
解得x₁=1，x₂=-3（舍去），
即$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值是4，取得该最小值时相应的x的值是1．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，弄清题目中的数量关系，充分利用所得的结论解答所要求的问题．