Question

13．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点O出发，乙每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$的值最小，求出这个最小值并写出此时点E、P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到$\frac{CE}{CO}$=$\frac{ED}{OB}$，即$\frac{2-t}{2}$=$\frac{DE}{4}$，求得$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$有最小值1，即可求得结果；
②存在，求得抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，（a）当∠EPF=90°时，（b）当∠EFP=90°时，（c）当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，
∵DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴$\frac{CE}{CO}$=$\frac{ED}{OB}$，
即$\frac{2-t}{2}$=$\frac{DE}{4}$，
∴DE=4-2t，
∴$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$=$\frac{1}{2t}$+$\frac{1}{4-2t}$=$\frac{1}{-{t}^{2}+2t}$=$\frac{1}{1-（t-1）^{2}}$，
∵0＜t＜2，1-（t-1）²始终为正数，且t=1时，1-（t-1）²有最大值1，
∴t=1时，$\frac{1}{1-（t-1）^{2}}$有最小值1，
即t=1时，$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$有最小值1，此时OP=2，OE=1，
∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，
∵抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2的对称轴方程为x=3，
设F（3，m），
∴EP²=5，PF²=（3-2）²+m²，EF²=（m-1）²+3²，
当△EFP为直角三角形时，
（a）当∠EPF=90°时，
EP²+PF²=EF²，
即5+1+m²=（m-1）²+3²，
解得：m=2，
（b）当∠EFP=90°时，
EF²+FP²=PE²，
即（m-1）²+3²+（3-2）²+m²=5，
此方程无解，不合题意舍去，
∴当∠EFP=90°时，
这种情况不存在，
（c）当∠PEF=90°时，
EF²+PE²=PF²，
即（m-1）²+3²+5=（3-2）²+m²，
解得：m=7，
∴F（3，2），（3，7）．

点评 本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，求代数式的最值，勾股定理，存在性问题，在求有关存在性问题时要注意分析题意分情况讨论结果．