Question

11．如图，已知△ABC的面积S=1，点P是边BC上异于端点的一个动点，过点P作PD∥AC，PE∥AB，分别交AB、AC为D、E，设$\frac{BP}{BC}$=x（0＜x＜1），△BDP的面积为S₁，△CEP的面积为S₂，四边形ADPE的面积为S₃．
（1）试用x表示S₂，并求当S₃=$\frac{4}{9}$时x的值；
（2）求证：S₁、S₂、S₃中至少有一个大于等于$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得出三角形的面积，再代入面积求解未知数即可得出．
（2）用反证的方法，找出不等式组，解得不等式组无解，得出假设不成立，从而证得结论．

解答 （1）解：∵PD∥AC，PE∥AB，
∴△BDP∽△BAC，△CEP∽△CAB，
又∵$\frac{BP}{BC}$=x，线段BC=BP+PC且△ABC的面积S=1，
∴S₁=x²（0＜x＜1），S₂=（1-x）²（0＜x＜1），
∵S=S₁+S₂+S₃，
∴S₃=S-S₁-S₂=1-x²-（1-x）²=2x-2x²（0＜x＜1），
将S₃=$\frac{4}{9}$代入上式中得：2x-2x²=$\frac{4}{9}$，
解得x=$\frac{1}{3}$或x=$\frac{2}{3}$，
经检验x=$\frac{1}{3}$，x=$\frac{2}{3}$都是方程的解．
答：S₂=（1-x）²（0＜x＜1），当S₃=$\frac{4}{9}$时x的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$．
（2）证明：假设S₁、S₂、S₃都小于$\frac{4}{9}$，那么则有
$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{＜\frac{4}{9}}\\{{S}_{2}}&{＜\frac{4}{9}}\\{{S}_{3}}&{＜\frac{4}{9}}\end{array}\right.$  即$\left\{\begin{array}{l}{x^2＜}&{\frac{4}{9}}\\{（1-x）^2＜}&{\frac{4}{9}}\\{2x-2x^2＜}&{\frac{4}{9}}\\{0＜x＜1}&{\;}\end{array}\right.$
解得x不存在，
故假设不成立，S₁、S₂、S₃中至少有一个大于等于$\frac{4}{9}$．
证毕．

点评 （1）本问考查的是相似三角形的面积比是相似比的平方，解题的关键是找对关系式．
（2）本问考查的是解不等式组，解题的关键在于利用反证法，找对不等式即可解决．