Question

已知关于x的一元二次方程

1

4

x²-2x+a（x+a）=0的两个实数根为x₁，x₂，若y=x₁+x₂+

1

2

x1•x2

．
（1）当a≥0时，求y的取值范围；
（2）当a≤-2时，比较y与-a²+6a-4的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）用根的判别式确定a的取值范围，根据根与系数的关系用a表示y，确定y的取值范围．
（2）根据a的取值范围确定y及代数式-a²+6a-4的取值范围，可比较其大小．

解答：解：（1）由

1

4

x²-2x+a（x+a）=0得，

1

4

x²+（a-2）x+a²=0
△=（a-2）²-4×

1

4

×a²
=-4a+4
∵方程有两个实数根，
∴-4a+4≥0．
∴a≤1
∵a≥0
∴0≤a≤1
∴y=x₁+x₂+

1

2

x1•x2

=-4a+8+a
=-3a+8
∵-3≤0，
∴y随a的增大而减小
当a=0时，y=8；a=1时，y=5
∴5≤y≤8．
（2）由（1）得a≤1，又a≤-2，
∴a≤-2
∴y=x₁+x₂+

1

2

x1•x2

=-4a+8-a
=-5a+8
当a=-2时，y=18；
∵-3≤0
∴y随a的增大而减小．
∴当a≤-2时，y≥18
又∵-a²+6a-4=-（a-3）²+5≤5
而18＞5
∴当a≤-2时，y＞-a²+6a-4

点评：考查用根的判别式求取值范围，一元二次方程根与系数的关系以及一次函数的性质的综合运用．