Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A′恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA′的长为多少？

Answer 1

分析 过点A′作A′M⊥BC于点M．设CM=A′M=x，则BM=7-x．在直角△A′MB中，由勾股定理得到：A′M²=A′B²-BM²=25-（7-x）²．由此求得x的值，然后在等腰Rt△A′CM中由CA′=$\sqrt{2}$A′M求解即可．

解答 解：如图所示，过点A′作A′M⊥BC于点M．
∵点A的对应点A′恰落在∠BCD的平分线上，
∴设CM=A′M=x，则BM=7-x，
又由折叠的性质知AB=A′B=5，
∴在直角△A′MB中，由勾股定理得到：A′M²=A′B²-BM²=25-（7-x）²，
∴25-（7-x）²=x²，
∴x=3或x=4，
∵在等腰Rt△A′CM中，CA′=$\sqrt{2}$A′M，
∴CA′=3$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$．
故答案是：3$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A′MB和等腰直角△A′CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．