Question

16．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ．求证：AX•AY=BP•BQ．

Answer 1

分析 作小⊙O的切线AM，BN，切点分别为M、N，连接AO，OM，BO，ON，根据切割线定理得出AM²=AX•AY，BN²=BP•BQ，根据切线的性质得出∠AMO=∠BNO=90°，证Rt△AMO≌Rt△BNO，推出AM=BN即可．

解答 证明：如图：

作小⊙O的切线AM，BN，切点分别为M、N，连接AO，OM，BO，ON，
则根据切割线定理得：AM²=AX•AY，BN²=BP•BQ，
∵小⊙O的切线AM，BN，切点分别为M、N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在Rt△AMO和Rt△BNO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△AMO≌Rt△BNO（HL），
∴AM=BN，
∴AX•AY=BP•BQ．

点评 本题考查了切线的性质，切割线定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，题目比较好．