Question

已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM=PN．
（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM=CN；
（2）在（1）的条件下，AM+AN=______AC；
（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC=2：1，PC=4，求四边形ANPM的面积．

Answer 1

解：（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM=CN；

（2）∵∠APB=90°-∠PAB，∠APC=90°-∠PAC，
∴∠APC=∠APB，
∵PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，
∴AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC；
故答案为：2；

（3）∵AC：PC=2：1，PC=4，
∴AC=8，
∴AB=AC=8，PB=PC=4，
∴S_{四边形ANPM}=S_△APN+S_△APB+S_△PBM=S_△APN+S_△APB+S_△PCN=S_△APC+S_△APB=AC•PC+AB•PB=×8×4+×8×4=32．
分析：（1）由点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，根据角平分线的性质，可得PB=PC，又由PM=PN，利用HL，即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN，则可证得结论；
（2）由角平分线的性质易证得AB=AC，又由AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC，即可证得结论；
（3）由AC：PC=2：1，PC=4，即可求得AC的长，又由S_{四边形ANPM}=S_△APN+S_△APB+S_△PBM=S_△APN+S_△APB+S_△PCN=S_△APC+S_△APB，即可求得四边形ANPM的面积．
点评：此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．