Question

【题目】如图，AB，AC为⊙O的弦，AB=AC，连接AO．
（1）如图l，求证：∠OAC=∠OAB；
（2）如图2，过点B作AC的垂线交⊙O于点D，连接CD，设AO的延长线交BD于点E，求证：BE=CD；
（3）在（2）的条件下，如图3，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连接AG，AF，若CF×AG=8，∠GAB=45°+ ∠GAE，∠B=50°，求△ACF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：如图1中，连接OC、OB．

在△AOC和△AOB中，

，

∴△AOC≌△AOB，

∴∠CAO=∠BAO．

（2）解：证明：如图2中，连接EC．

在△AEC和△AEB中，

，

∴△EAC≌△EAB，

∴EC=EB，∠ACE=∠B，

∵∠B=∠DCA，

∴∠DCA=∠ACE，

∵BD⊥AC，

∴∠CDE+∠DCA=90°，∠CED+∠ACE=90°，

∴∠CDE=∠CED，

∴CD=CE=EB．

（3）解：解：如图3中，连接AD，作AN⊥EC于N，AC与BD交于点M．设∠GAD=x．

∵∠B=50°，∠AMB=90°，

∴∠MAB=40°，

∴∠EAM=∠EAB=20°

∴∠CDM=∠CAB=40°，

∵CD=EC，AC⊥DE，

∴DM=ME，

∴AD=AE，

∴∠MAD=∠MAE=20°，

∴∠DAB=60°，

∴∠ADB=180°﹣∠DAB﹣∠B=70°，

∴∠ADN=180°﹣∠CDM=70°，

∴∠ADN=∠ADM，

∵AN⊥DF，AM⊥DB，

∴AN=AM，

∵∠GAB=45°+ ∠GAE，

∴x+60°=45°+ （x+40°），

∴x=10°，

∴∠GAM=30°，

在Rt△AGM中．AM=AN=AGcos30°= AG，

∴S△ACF= CFAN= CFAG= ×4=2 ．

【解析】（1）如图1中，连接OC、OB．只要证明△AOC≌△AOB即可．（2）如图2中，连接EC．首先证明△EAC≌△EAB，推出EC=EB，∠ACE=∠B，再证明∠CDE=∠CED，推出CD=CE即可解决问题．（3）连接AD，作AN⊥EC于N，AC与BD交于点M．设∠GAD=x．只要证明∠GAM=30°，在Rt△AGM中．AM=AN=AGcos30°= AG，根据S△ACF= CFAN= CFAG，即可解决问题．