Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）求证：BC2=2CDOE；
（3）若cosC= ，DE=4，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

连接BD，OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E是BC的中点，

∴DE=CE=BE= BC，

∴∠3=∠4，

∵OD=OB，

∴∠1=∠2，

∴∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴DE与⊙O相切

（2）证明：如图2，

在直角三角形ABC中，∠C+∠A=90°，

在直角三角形BDC中，∠C+∠4=90°，

∴∠A=∠4，

又∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

，

∴BC2=ACCD，

∵O是AB的中点，E是BC的中点，

∴AC=2OE，

∴BC2=2CDOE

（3）解：如图3，

由（2）知，DE= BC，又DE=4，

∴BC=8，

在直角三角形BDC中， =cosC= ，

∴CD= ，

在直角三角形ABC中， =cosC= ，

∴AC=12，

∴AD=AC﹣CD=

【解析】（1）连接BD，OD，运用直径所对的圆周角为90°，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求证；（2）通过证明△BCD∽△ACB，结合三角形的中位线定理即可证明；（3）在直角三角形BDC和直角三角形ABC中，运用三角函数即可求出CD和AC的值，进而求解．