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【题目】已知,在菱形ABCD中,∠ADC=60°,点HCD上任意一点(不与CD重合),过点HCD的垂线,交BD于点E,连接AE

1)如图1,线段EHCHAE之间的数量关系是   

2)如图2,将DHE绕点D顺时针旋转,当点EHC在一条直线上时,求证:AE+EH=CH

【答案】(1) EH2+CH2=AE2(2)见解析.

【解析】分析:(1)如图1,过EEM⊥ADM,由四边形ABCD是菱形,得到AD=CD,∠ADE=∠CDE,通过△DME≌△DHE,根据全等三角形的性质得到EM=EH,DM=DH,等量代换得到AM=CH,根据勾股定理即可得到结论;
(2)如图2,根据菱形的性质得到∠BDC=∠BDA=30°,DA=DC,在CH上截取HG,使HG=EH,推出△DEG是等边三角形,由等边三角形的性质得到∠EDG=60°,推出△DAE≌△DCG,根据全等三角形的性质即可得到结论.

详解:

1EH2+CH2=AE2

如图1,过EEMADM

∵四边形ABCD是菱形,

AD=CD,∠ADE=CDE

EHCD

∴∠DME=DHE=90°

在△DME与△DHE中,

∴△DME≌△DHE

EM=EHDM=DH

AM=CH

RtAME中,AE2=AM2+EM2

AE2=EH2+CH2

故答案为:EH2+CH2=AE2

2)如图2

∵菱形ABCD,∠ADC=60°

∴∠BDC=BDA=30°DA=DC

EHCD

∴∠DEH=60°

CH上截取HG,使HG=EH

DHEG,∴ED=DG

又∵∠DEG=60°

∴△DEG是等边三角形,

∴∠EDG=60°

∵∠EDG=ADC=60°

∴∠EDG﹣∠ADG=ADC﹣∠ADG

∴∠ADE=CDG

在△DAE与△DCG中,

∴△DAE≌△DCG

AE=GC

CH=CG+GH

CH=AE+EH

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