Question

【题目】在四边形OABC中，AB∥OC，∠OAB＝90°， ∠OCB＝60°，AB＝2，OA＝2.

(1)如图①，连接OB，请直接写出OB的长度；

(2)如图②，过点O作OH⊥BC于点H.动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S(平方单位)．

①求S与t之间的函数关系式；

②设PQ与OB交于点M，当△OPM为等腰三角形时，试求出△OPQ的面积S的值．

Answer 1

【答案】（1）4（2）；①S＝－t2＋t(0<t<2)； ②或2.

【解析】试题分析：（1）利用勾股定理即可得；

（2）①首先表示出线段PO，作PE⊥OA于点E，利用锐角三角函数表示出线段PE的长，然后利用三角形的面积计算方法得到有关S于t的函数关系式即可；

②分情况讨论即可得.

试题解析：(1)∵∠OAB=90°，∴OB=；

(2)①∵AB＝2，OB＝4，∠OAB＝90°，∴∠ABO＝60°，又∵∠OCB＝60°，

∴△BOC为等边三角形，∴OH＝OBcos30°＝4×＝2，

∴OP＝OH－PH＝2－t，

如图①，过P点作PE⊥OA，垂足为点E，

图①

则EP＝OPcos30°＝3－t，

∴S＝·OQ·EP＝·t·(3－t)＝－t2＋t(0<t<2)；

②若△OPM为等腰三角形：

(ⅰ)若OM＝PM，如图②，则∠MPO＝∠MOP＝∠POC，

图②

∴PQ∥OC，过点P作PK⊥OC于点K，

∴OQ＝PK＝，即t＝－，解得t＝，

此时S＝－×()2＋×＝；

(ⅱ)若OP＝OM，如图③，则∠OPM＝∠OMP＝75°，

图③

∴∠OQP＝∠OMP－∠QOM＝75°－30°＝45°，此时EQ＝EP，即t－(－)＝3－t，

解得t＝2，

此时S＝－×22＋×2＝3－；

(ⅲ)若OP＝PM，∠POM＝∠PMO＝∠AOB，

则PQ∥OA，此时点Q在AB上，不满足题意，舍去，

综上所述，当△OPM为等腰三角形时，△OPM的面积为或2.