Question

【题目】已知：AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，如图，AB=12，BC=4 ．BH与⊙O相切于点B，过点C作BH的平行线交AB于点E．

（1）求CE的长；
（2）延长CE到F，使EF= ，连接BF并延长BF交⊙O于点G，求BG的长；
（3）在（2）的条件下，连接GC并延长GC交BH于点D，求证：BD=BG．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BH与⊙O相切于点B，

∴AB⊥BH，

∵BH∥CE，

∴CE⊥AB，

∵AB是直径，

∴∠CEB=∠ACB=90°，

∵∠CBE=∠ABC，

∴△ABC∽△CBE，

∴ = ，

∵AC= =4 ，

∴CE=4

（2）

解：连接AG．

∵∠FEB=∠ACB=90°，∠EBF=∠ABC，

∴△ABG∽△FBE，

∴ = ，

∵BE= =4，

∴BF= =3 ，

∴ = ，

∴BG=8

（3）

解：易知CF=4 + =5 ，

∴GF=BG﹣BF=5 ，

∴CF=GF，

∴∠FCG=∠FGC，

∵CF∥BD，

∴∠GCF=∠BDG，

∴∠BDG=∠BGD，

∴BG=BD．

【解析】（1）只要证明△ABC∽△CBE，可得 = ，由此即可解决问题．（2）连接AG．只要证明△ABG∽△FBE，可得 = ，由BE= =4，再求出BF，即可解决问题．（3）通过计算首先证明CF=FG，推出∠FCG=∠FGC，由CF∥BD，推出∠GCF=∠BDG，推出∠BDG=∠BGD即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．