Question

15．对于二次函数y=-x²+2x有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x=1；
②设y₁=-x₁²+2x₁，y₂=-x₂²+2x₂，则当x₂＞x₁＞0时，有y₁＞y₂；
③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；
④直线y=k与y=-x²+2x的图象有两个不同的交点，则k＜1；
其中正确结论的个数为3．

Answer 1

分析 利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．

解答 解：①y=-x²+2x=-（x-1）²+1，故它的对称轴是直线x=1，正确；
②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y₁=-x₁²+2x₁，y₂=-x₂²+2x₂，则当x₂＞x₁＞0时，有y₂＞y₁或y₂＜y₁，错误；
③当y=0，则x（-x+2）=0，解得：x₁=0，x₂=2，
故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；
④∵直线y=k与y=-x²+2x的图象有两个不同的交点，
∴方程x²-2x+k=0的△=4-4k＞0，
∴k＜1，正确．
故正确结论有①③④，
故答案为3．

点评 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．