Question

4．如图，在两条相互垂直的高速公路0M、0N旁有两个相距50km的风景区A和B，A、B到0M的距离分别为40kn和10km，A到0N的距离为30km，现打算在0M旁和0N旁各修建一服务区C、D，使A、B、C、D构成的四边形的周长最小，求出这个最小值（高速公路的宽忽略不计）．

Answer 1

分析 过A作关于ON的对称点A'，过B作关于OM的对称点B'，连接A'B'，交ON于点D，交OM于点C，求出A'B'的值即可．

解答 解：过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于OM的对称点B'，
连接A'B'，交OM于点C，交ON于点D，则C，D即为所求．
过A'、B'分别作ON、OM的平行线交于点G，
∵A、B到0M的距离分别为40kn和10km，A到0N的距离为30km，
∴B到0N的距离为40+30=70km，
∴A′G=40+10=50km，B′G=30+30+40=100km，
∴A′B′=$\sqrt{A′{G}^{2}+B′{G}^{2}}$=50$\sqrt{5}$，
∴这个最小值是（50$\sqrt{5}$+50）km..

点评 此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键，综合运用勾股定理的知识．