Question

9．如图，在正方形ABCD中，E在BC上．
（1）P在BD上，已知PA=PE，求证：PA⊥PE；
（2）T不在BD上，CT=13，已知TB=14，BC=15，求S_△TBC．

Answer 1

分析 （1）作PQ⊥AB于Q，作PK⊥BC于K，则四边形BQPK是矩形，得出∠QPK=90°，由正方形的性质得出BD平分∠ABC，得出PQ=PK，由HL证明Rt△APQ≌Rt△EPK，得出∠APQ=∠EPK，由角的互余关系证出∠APE=90°，即可得出结论；
（2）作TH⊥BC于H，则∠THB=∠THC=90°，设BH=x，则CH=15-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BH，由勾股定理求出TH，S_△TBC=$\frac{1}{2}$BC•TH，即可得出结果．

解答 （1）证明：作PQ⊥AB于Q，作PK⊥BC于K，如图1所示：
则四边形BQPK是矩形，
∴∠QPK=90°，即∠QPE+∠EPK=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，
∴PQ=PK，
在Rt△APQ和Rt△EPK中，$\left\{\begin{array}{l}{PA=PE}\\{PQ=PK}\end{array}\right.$，
∴Rt△APQ≌Rt△EPK（HL），
∴∠APQ=∠EPK，
∴∠APQ+∠QPE=90°，
即∠APE=90°，
∴AP⊥PE；
（2）解：作TH⊥BC于H，如图2所示：
则∠THB=∠THC=90°，
设BH=x，则CH=15-x，
根据勾股定理得：TH²=BT²-BH²，TH²=CT²-CH²，
∴14²-x²=13²-（15-x）²，
解得：x=$\frac{42}{5}$，
∴TH=$\sqrt{T{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}-（\frac{42}{5}）^{2}}$=$\frac{56}{5}$，
∴S_△TBC=$\frac{1}{2}$BC•TH=$\frac{1}{2}$×15×$\frac{56}{5}$=84．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．