Question

18．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线．求证：AD•BC=CD•AB．

Answer 1

分析 根据弦切角定理得到∠ABP=∠PAD，由于∠APD=∠APB，推出△APD∽△APB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AB}=\frac{PD}{PB}$，同理：$\frac{CD}{BC}=\frac{PD}{PB}$，等量代换得到$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即可得到结论．

解答 解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠PAD，
∵∠APD=∠APB，
∴△APD∽△APB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{PD}{PB}$，
同理：$\frac{CD}{BC}=\frac{PD}{PB}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$，
∴AD•BC=CD•AB．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，熟练掌握弦切角定理是解题的关键．