Question

【题目】（问题提出）

“不以规矩，不能成方圆．”——孟子；“圆，一中同长也．”——墨经．

（1）圆，一中同长也．”体现了古代先哲对“圆”定义的思考，请用现代文翻译：____．

（初步思考）

圆规是我们初中几何学习不可或缺的工具，用圆规不仅可以画圆、画弧，还可以画弧与弧的交点，利用这一特征可以构造很多图形，如：

（2）角平分线：如图1，只用圆规在∠AOB中画出一点P使得点P在∠AOB的角平分线上；对称点：如图2，只用圆规画出点P关于直线l的对称点Q，并说明理由．

（操作与应用）

（3）已知点A、直线l.在图3中只用圆规在直线l上画出两点B、C，使得A、B、C恰好是等腰三角形的3个顶点，（画出一个并写出相等线段即可）：

已知点P、直线l.在图4中只用圆规画出一点Q，使得点P、Q所在的直线与直线l平行.（提示：平行四边形对边平行）．

（4）已知点O、A、B，只用圆规画出半径为AB的⊙O与点A、B所在直线的交点C、D.

Answer 1

【答案】（1）圆是到定点等于定长的点的集合；（2）图形见解析；（3）图形见解析；（4）图形见解析.

【解析】

（1）根据圆的定义解答；

(2)图1，利用作角平分线的方法作图即可；图2利用菱形对角线互相平分垂直作图即可解答．

（3）以点P为圆心，大于点P到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C两点，则点B，C即为所求．或在直线l上任取一点B，以点B为圆心，PB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C即为所求；

在直线l上任取B，C两点，以点P为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点Q．则点Q即为所求．

（4）过点A、B做直线，以点O为圆心，AB为半径作 O,交直线AB于点C、D.

解：(1) 圆是到定点等于定长的点的集合．（其它定义也可以）；

（2）如图1，理由：角平分线上的点到角两边的距离相等。

如图2，

①如图2，在直线l上任取点C；
②以点P为圆心，PC长为半径作弧，交直线l于点D；
③分别以点C，点D为圆心，PC长为半径作弧，处于直线l异侧的两弧交点为Q．
所以点Q为所求．

理由：四条边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分．

(3)：（1）画法一：
①以点P为圆心，大于点P到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C两点，则点B，C即为所求,此时PB=PC．

画法二：
在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C即为所求．

②画法：
在直线l上任取B，C两点，以点P为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，PB长为半径画弧，两弧交于点Q．则点Q即为所求．

(4)过点A、B做直线，以点O为圆心，AB为半径作 O,交直线AB于点C、D.