Question

18．（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+FD；
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是仍然成立（填“是”或“否”）；
结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论；
（2）延长CD至H，使DH=BE，连接AH，证明△ABE≌△ADH，再证明△EAF≌△HAF，可得出结论；
结论应用：连接EF，延长AE，BF相交于点M，根据探索延伸中的结论解答；
能力提高：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN，根据探索延伸中的结论计算即可．

解答 解：（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在Rt△ABE和Rt△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=GF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+FD；
（2）延长CD至H，使DH=BE，连接AH，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADH，
在△ABE和△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADH}\\{BE=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADH，
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠HAF，
在△EAF和△HAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AH}\\{∠EAF=∠HAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△HAF，
∴FH=EF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：是；
结论应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点M，
在四边形AOBM中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，
∠FOE=70°=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAM+∠OBM=60°+120°=180°，
符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立，
则EF=AE+FB=1.5×（60+80）=210（海里），
答：此时两舰艇之间的距离为210海里；
能力提高：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN，
由探索延伸可知，CE=BM=1，NE=MN，
NE=$\sqrt{N{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴MN=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．