Question

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，若⊙O的半径为6cm，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）若EF=1cm，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、DB，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠ABD=∠AED=45°，则△ADB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，再根据平行四边形的性质得DC∥AB，所以DO⊥DC，于是可根据切线的判定定理得到DC为⊙O的切线；
（2）根据平行四边形的性质得DC=AB=12cm，然后根据扇形的面积公式和阴影部分面积=S_梯形DOBC-S_扇形BOD进行计算；
（3）设OF=a，DF=b，由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB，即b=（3+a）（3-a）①，又b²-a²=9②，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连接OD、DB，如图，
∵AB⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠AED=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴DO⊥DC，
∴DC为⊙O的切线；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=12cm，
∴阴影部分面积=S_梯形DOBC-S_扇形BOD
=$\frac{1}{2}$×（6+12）×6-$\frac{90π•{6}^{2}}{360}$=（54-9π）cm²；

（3）设OF=a，DF=b，由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB，
∴b=（3+a）（3-a）①
又∵b²-a²=9②，
由①②得到b=$\frac{-1+\sqrt{73}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{73}}{2}$（舍弃），
∴DF=$\frac{\sqrt{73}-1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式，学会利用分割法求面积，相交用方程组的思想思考问题，属于中考压轴题．