Question

20．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=$\sqrt{10}$，CH=5$\sqrt{2}$．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；
（3）在（2）的条件下，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC．由AB⊥BC可知AC是圆O的直径，由同弧所对的圆周角相等可知∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=40，从而可得到AC²+AH²=CH²，由勾股定理的逆定理可知AC⊥AH，故此可知AH是圆O的切线；
（2）连接DE、BE．由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是$\widehat{CE}$的中点，可证明∠CED=∠EBD，由同弧所对的圆周角相等可知∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角的性质可证明：∠HAF=∠AFH，故此AH=HF；
（3）由切割线定理可求得EH=$\sqrt{2}$，由（2）可知AF=FH=$\sqrt{10}$，从而得到EF=FH-EH=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如图1所示：连接AC．

∵AB⊥CB，
∴AC是圆O的直径．
∵∠C=∠D，
∴tanC=3．
∴AB=3BC=3×2=6．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=40．
又∵AH²=10，CH²=50，
∴AC²+AH²=CH²．
∴△ACH为直角三角形．
∴AC⊥AH．
∴AH是圆O的切线．
（2）如图2所示：连接DE、BE．

∵AH是圆O的切线，
∴∠ABD=∠HAD．
∵D是$\widehat{CE}$的中点，
∴$\widehat{CD}=\widehat{ED}$．
∴∠CED=∠EBD．
又∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED．
∴∠ABD=∠AFE．
∴∠HAF=∠AFH．
∴AH=HF．
（3）由切割线定理可知：AH²=EH•CH，即（$\sqrt{10}$）²=5$\sqrt{2}$EH．
解得：EH=$\sqrt{2}$．
∵由（2）可知AF=FH=$\sqrt{10}$．
∴EF=FH-EH=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理以及勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．