Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，4），与直线y=-x+1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（-3，0）．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP丄x轴，垂足为点P，交直线AB于点N，设点M的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）当x=m时，M和N的纵坐标即可利用m表示出来，然后根据二次函数的性质求得MN的最大值．

解答 解：（1）在y=-x+1中，令x=0，解得y=1，则A的坐标是（0，1）．
在y=-x+1中，令x=-3，则y=3+1=4，则B的坐标是（-3，4）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{c=1}\\{9a-3b+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是y=-x²-4x+1；
（2）当x=m时，M的纵坐标是-m²-4m+1，N的纵坐标是-m+1，
则MN=（-m²-4m+1）-（-m+1）=-m²-3m=-（m²+3m）=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
则当m=-$\frac{3}{2}$时，MN有最大值是$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，求函数最值问题常用的方法是转化为函数的性质问题．