Question

2．发现问题：
如图（1），在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．
我们可以进行以下计算：
由题意可知：∠B=30°，∠C=90°，
可得到：c=2b，a=$\sqrt{3}$b，
所以a²-b²=（$\sqrt{3}$b）²-b²=2b²=b•c．
即a²-b²=bc．
提出猜想：
（1）（验证特殊三角形）如图（2），请你参照上述研究方法，对等腰直角三角形进行验证，判断猜想是否正确，并写出验证过程；
已知：△ABC中，∠A=2∠B，∠A=90°
求证：a²-b²=bc．
（2）（验证一般三角形）如图（3），
已知：△ABC中，∠A=2∠B，
求证：a²-b²=bc．
结论应用：
若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出b=c，∠A=90°，由勾股定理得出a²=2b²，即可得出结论；
（2）作，∠A的平分线AD，则∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A，由已知条件得出∠B=∠1=∠2，得出BD=AD，证明△ABC∽△DAC，得出对应边成比例，得出BD=AD=$\frac{bc}{a}$，b²=a•CD，即可得出结论；
（3）设三角形的三边长为2n-2，2n，2n+2，由（2）得出（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），解方程求出n的值，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴b=c，∠A=90°，
∴a²=b²+c²=2b²，
∴a²-b²=2b²-b²═b²=bc；
（2）证明：作，∠A的平分线AD，如图所示：
则∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=∠1=∠2，
∴BD=AD，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴$\frac{c}{AD}=\frac{b}{CD}=\frac{a}{b}$，
∴BD=AD=$\frac{bc}{a}$，b²=a•CD，
∴a²-b²=a²-a•CD=a（a-CD）=a•BD=a′$\frac{bc}{a}$=bc；
（3）解：a=12，b=8，c=10；理由如下：
设三角形的三边长为2n-2，2n，2n+2，
∵∠A=2∠B，
∴由（2）得：（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），
解得：n=5，或n=0（舍去），
∴n=5，2n-2=8，2n=10，2n+2=12，
∴a=12，b=8，c=10．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．