Question

1．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时现使用铅笔画出，确定后必需使用黑色字迹的签字笔描黑）．
第一步：过点A用圆规和直尺作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步：过点D用三角板作AC的垂线，交AC的延长线于点E；
第三步：连接BD．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
（3）若∠B=60°，DE=2$\sqrt{3}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）按照画图步骤画图，标上相应字母，如图1；
（2）连结OD，如图2，证明OD∥AC，由DE⊥AC得到DE⊥OD，则可根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（3）连结CD，如图3，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠B=60°，然后在Rt△CDE中利用∠ECD的正切求CE的长．

解答 （1）解：如图1，

（2）证明：连结OD，如图2，

∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：连结CD，如图3，

∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠B=60°，
在Rt△CDE中，∵tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{tan60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握基本作图、切线的判定定理和圆内接四边形的性质；会解直角三角形．在证明直线是圆的切线时，常连结圆心与直线过圆上的点，把证明切线的问题转化为证明直线垂直的问题．