Question

5．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交x轴于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0），B（5，0），C（0，2）分别代入y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值；
（2）由抛物线顶点坐标公式求M点坐标，过M作MN垂直y轴于N，根据S_△BCM=S_{四边形OBMN}-S_△OBC-S_△MNC求△BCM的面积；
（3）根据AC为腰，AC为底两种情况求P点坐标．当AC为腰时，分为A为等腰三角形的顶点，C为等腰三角形的顶点，两种情况求P点坐标；当AC为底时，作线段AC的垂直平分线交x轴于P点，利用三角形相似求OP．

解答 解：（1）将A（-1，0），B（5，0），C（0，2）分别代入y=ax²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 25a+5b+c=0\\ c=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{5}\\ b=\frac{8}{5}\\ c=2\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2；
（2）顶点M的坐标是M（2，$\frac{18}{5}$）．
过M作MN垂直y轴于N，
所以S_△BCM=S_OBMN-S_△OBC-S_△MNC
=$\frac{1}{2}$（2+5）×$\frac{18}{5}$-$\frac{1}{2}$×5×2-$\frac{1}{2}$×（$\frac{18}{5}$-2）×2
=6；
（3）如图，当以AC为腰时，在x轴上有两个点分别为P₁，P₂，易求AC=$\sqrt{5}$，
则0P₁=1+$\sqrt{5}$，OP₂=$\sqrt{5}$-1，
所以P₁，P₂的坐标分别是P₁（-1-$\sqrt{5}$，0），P₂（$\sqrt{5}$-1，0）；
当以AC为底时，作AC的垂直平分线交x轴于P₃，交y轴于F，垂足为E，
CE=$\frac{AC}{2}$，
易证△CEF∽△COA，
所以$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CA}{CO}$，
所以$\frac{CF}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
CF=$\frac{5}{4}$，OF=OC-CF=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
EF=$\sqrt{{CF}^{2}-{CE}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
又∵△CEF∽△P₃OF，
所以，$\frac{CE}{EF}$=$\frac{{OP}_{3}}{OF}$，
求得OP₃=$\frac{3}{2}$，
则P₃的坐标为P₃（$\frac{3}{2}$，0）．
AC=PC，则P₄（1，0）．
所以存在P₁、P₂、P₃、P₄四个点，它们的坐标分别是P₁（-1-$\sqrt{5}$，0）、P₂（$\sqrt{5}$-1，0）、P₃（$\frac{3}{2}$，0）、P₄（1，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据二次函数的解析式求抛物线与坐标轴的交点坐标，顶点坐标，根据等腰三角形的性质，分类讨论，求满足条件的P点坐标．