Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根.

（2）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.

Answer 1

分析：（1）证明这个一元二次方程的根的判别式大于0，根据一元二次方程的根的判别式的性质得到这个方程有两个不相等的实数根；（2）求出方程的根，根据等腰三角形的判定分类求解.

（1）证明：∵ 关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0中，a=1,b=-（2k+1）,c=k²+k，

∴ Δ=b²-4ac=［-（2k+1）］²-4×1×（k²+k）＝1＞0.

∴ 方程有两个不相等的实数根.

（2）解：∵ 由x²-（2k+1）x+k²+k=0，得（x-k）［x-（k+1）］=0，

∴ 方程的两个不相等的实数根为x₁=k,x₂=k+1.

∵ △ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5，∴ 有如下两种情况：

情况1：x₁=k=5，此时k=5，满足三角形构成条件；

情况2：x₂=k+1＝5，此时k=4，满足三角形构成条件.

综上所述，k=4或k=5.

点拨：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：

（1）Δ＞0方程有两个不相等的实数根；

（2）Δ=0方程有两个相等的实数根；

（3）Δ＜0方程没有实数根.