Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a-b=0；②a+b+c＞0；③c=-3a；④只有当a=

1

2

时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．
其中正确的结论是

 

．（只填序号）

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与系数的关系,等腰三角形的判定

专题：

分析：先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x=-

b

2a

=1，
即2a+b=0．
故①错误；

②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．
故②错误；

③∵A点坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a．
故③正确；

④当a=

1

2

，则b=-1，c=-

3

2

，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

，
把x=1代入得y=

1

2

-1-

3

2

=-2，
∴D点坐标为（1，-2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形．
故④正确；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c²=16-9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-

7

，
与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=

7

3

；
同理当AB=AC=4时
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c²=16-1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-

15

与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=

15

3

；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC²=1+c²，
在△BOC中BC²=c²+9，
∵AC=BC，
∴1+c²=c²+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
综上所述，正确的结论是③④．
故答案是：③④．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．