Question

【题目】综合与探究

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．

(1)求抛物线的解析式

(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；

(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．

①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为　　；

②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()

Answer 1

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).

【解析】

（1）根据已知条件求出C,再将点A代入即可求出解析式.

(2) 做点关于抛物线的对称轴直线的对称点，连，交直线于点．连，根据勾股定理即可解答.

(3)①分类讨论不同相似情况，利用条件求出线段长度即可解答.

②设坐标为，得出P点坐标，代入式子求出a，根据菱形性质即可求出D点坐标.

(1)将代入

将和代入

抛物线解析式为

(2)做点关于抛物线的对称轴直线的对称点，连，交直线于点．

连，此时的值最小．

抛物线对称轴位置线

由勾股定理

的最小值为5

(3)①当时，

，则关于抛物线对称轴对称

的面积为

当时

由已知为等腰直角三角形，

过点作于点，设点坐标为

，

则为，

代入

解得

的面积为4

故答案为：或4

②存在

设坐标为

则为

则点坐标为

把点坐标代入

解得(舍去)，

当时，点在垂直平分线上，则

当时，由菱形性质点坐标为，，

当时，、关于直线对称，点坐标为